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電子結構分析【02】——關于能帶的那些事兒（下）

來源：時間：2022-11-02 15:33:55 瀏覽：9328次

上期推文我們介紹了能帶圖的橫軸與縱軸的意義（點擊查看→電子結構分析——關于能帶的那些事兒（上））下面我們再來看一看，從能帶圖中我們可以分析出一些什么樣的性質。

費米能級與導電性

我們通常看到的能帶圖，是E-k空間中的一大堆曲線，這些曲線上的每一個點，也就是每一個（E，k）點，都是一個電子所能取的態。由于泡利不相容原理，每一個這樣的態上面只能被兩個自旋相反的電子占據。而在基態的時候，電子會盡可能地占據能量最低的所有能占據的態，在這種情況下，會存在一個能級，它成為一個分界線，能量低于這個分界線的態全部被電子占據，能量高于分界線的態全部不被電子占據，這個分界線叫做費米能級（E_F）。

有了費米能級的概念，接下來就是固體物理中的一個重要結論，結合費米能級和允帶-禁帶的結構，人們發現能帶圖有兩種情況：

第一種，費米能級處于一個允帶的半中腰，這時候就存在著一個允帶有一部分能級被電子占據，一部分能級沒有被電子占據。只要一個固體存在著這樣一種半充滿的允帶，那么這種固體就是導體。這個半充滿的允帶就叫做導帶。

第二種情況，費米能級剛好處于一個允帶的頂端，這時候這個固體中的允帶要么完全被電子占據，要么完全沒有電子占據。這種情況下這種晶體就是絕緣體或者半導體。那些完全被電子占據的能級叫做價帶。

圖1 導體，絕緣體，半導體的能帶結構

這里單獨說一下半導體。半導體原本跟絕緣體一樣，能帶要么完全被占據，要么完全沒有被占據。但問題是，半導體中能量最高的那個完全占據的能帶，和能量最低的那個不被占據的能帶，之間的禁帶比較窄（通常小于2eV，但現在一些禁帶3eV左右的體系也叫做半導體）。我們在討論半導體的時候，一般所提到的價帶，通常專指能量最高的那個全滿能帶，而導帶則專指能量最低的空帶，而禁帶或者帶隙，則專指半導體中價帶與導帶之間的那個禁帶。

由于半導體的帶隙比較窄，所以價帶中的電子可能被熱、光等方式激發到導帶，使得兩個能帶都變成不全充滿的能帶，于是體系可以有一定的導電性，這就是“半導體”這個名稱的來源。激發到導帶的電子叫做自由電子，而由于有電子激發出去而在價帶留下的“洞”被稱為空穴。自由電子和空穴是半導體的兩種導電方式。

直接和間接半導體

2a 導體

2b 直接帶隙

2c 間接帶隙

圖2 不同類型的能帶圖實例

相對于圖1的示意圖，圖2則是實際的能帶圖例子。由剛才的討論我們發現，能帶圖的第一個用處是判斷一個體系是導體還是絕緣體/半導體。除此之外呢，能帶圖還可以看到一個半導體的能隙是直接能隙還是間接能隙。我們看圖2b和圖2c，它們都是半導體，費米能級以上都有一個能隙，但他們有不同之處：圖2b中間價帶頂和導帶底的k點位置（也就是橫軸上的位置）是一致的，這種情況下，只需要有足夠高的能量激發，電子就可以由價帶到達導帶。這種情況叫做直接帶隙。

而圖2c我們可以看到，價帶頂和導帶底的在橫軸上的位置不同，也就是說，它們對應的k值不同，而k值對應著晶體動量。所以這時候從價帶頂躍遷到導帶底，就不僅僅要考慮能量守恒，還需要考慮動量守恒。而這個價帶頂到導帶底的動量差異通常是由聲子填補的。在間接帶隙的固體中，電子無論是從價帶躍遷到導帶，還是從導帶回到價帶，都需要同時接收相應能量的光子，和相應動量的聲子。所以，間接帶隙中間的空穴與自由電子無論是產生還是復合都比直接帶隙困難得多。這是能帶結構預測材料性質的又一個例子。

總結

綜合以上內容，我們詳細闡述了關于能帶圖的一些基本知識。能帶圖的橫坐標是k，它正比于電子的晶體動量。縱坐標是電子的能量。從能帶圖可以看出電子可取的能量是不連續的，有允帶，有禁帶。由允帶的填充狀況可以判斷材料是導體，絕緣體，還是半導體。而對于半導體來說，價帶頂和導帶底在k空間中的位置關系可以判斷這個半導體的帶隙是直接帶隙還是間接帶隙。關于能帶還有一些知識，比如對于半導體來說，可以計算電子和空穴的有效質量。

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